晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性与晶胞的对称性有关联。其宏观对称性不仅反映在规则的几何外观上，更体现在晶体的 宏观物理性质 上。

以介电常数为例：

各向同性材料的电磁性质方程为：

D=ε0εrE\bm{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\bm{E}

D=ε0​εr​E

各向异性材料的电磁性质方程：

Dα=∑βεαβEβD_\alpha = \sum_{\beta} \varepsilon_{\alpha\beta} E_{\beta}

Dα​=β∑​εαβ​Eβ​

其中 (εαβ)(\varepsilon_{\alpha\beta})(εαβ​) 为介电张量。

方解石[2]^{[2]}[2]为六角结构：

由于对称性的限制，其介电张量将有以下形式（将会在后面仔细说明）：

(εαβ)=(ε//000ε⊥000ε⊥)(\varepsilon_{\alpha\beta})=\begin{pmatrix}

\varepsilon_{//} & 0 & 0\\

0 & \varepsilon_{\perp} & 0\\

0 & 0 & \varepsilon_{\perp} \\

\end{pmatrix}

(εαβ​)=⎝⎛​ε//​00​0ε⊥​0​00ε⊥​​⎠⎞​

可得：

D⊥=ε⊥E⊥D//=ε//E//\begin{aligned}

&\bm{D}_{\perp} = \varepsilon_{\perp} \bm{E}_{\perp}\\

&\bm{D}_{//} = \varepsilon_{//} \bm{E}_{//}\\

\end{aligned}

​D⊥​=ε⊥​E⊥​D//​=ε//​E//​​

由此在垂直与平行两个方向上，方解石的折射率有差别。这就是双折射[3]^{[3]}[3]产生的原因。

各向异性的物理性质与结构密切相关。

宏观对称性的描述

对称操作

如何描述对称性？要概括一个图形的对称性，就是考察在一定的几何变换之下物体的不变性。这种几何变换就是 对称操作。

例如对于以下图形，我们得到一些观察

旋转对称性：

圆：对绕中心的任何一个旋转都不变

正方形：对绕中心旋转 90°90\degree90° 及其倍数不变

等腰梯形：对绕中心旋转任何角度都不保持不变

不规则图形：对绕中心旋转任何角度都不保持不变

反射对称性：

圆：对任意直径作反射都不变

正方形：只有对四条线作反射保持不变

等腰梯形：对上下中点连线作反射保持不变

不规则图形：没有

综合以上观察，对图形的对称性排序：

圆形 > 正方形 > 等腰梯形 > 不规则图形

旋转与反射这两类操作实质是一个坐标变换，可以用矩阵表示。并且这类变换具有一个特性：变换前后存在不动点。为了和平移对称性区分开来，我们称其为 点对称性。

点对称变换可以用变换矩阵 AAA 表示：

对于一个任意点 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 有：

(xyz)⟶(x′y′z′)=(aij)3×3(xyz)\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

\longrightarrow

\begin{pmatrix}

x' \\ y' \\ z'

\end{pmatrix}

=(a_{ij})_{3\times3}

\begin{pmatrix}

x \\ y \\ z

\end{pmatrix}

⎝⎛​xyz​⎠⎞​⟶⎝⎛​x′y′z′​⎠⎞​=(aij​)3×3​⎝⎛​xyz​⎠⎞​

记做：

x′=Axx' =Ax

x′=Ax

最基本的三种点对称变换为：

旋转

例如绕 xxx 轴旋转 θ\thetaθ。

A=(1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ)A =

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & \cos\theta & -\sin\theta\\

0 & \sin\theta & \cos\theta\\

\end{pmatrix}

A=⎝⎛​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎠⎞​

反演

对原点进行反演。

A=(−1000−1000−1)A =

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0\\

0 & -1 & 0\\

0 & 0 & -1\\

\end{pmatrix}

A=⎝⎛​−100​0−10​00−1​⎠⎞​

旋转反演

例如绕 xxx 轴旋转 θ\thetaθ，再对原点进行反演。

A=(−1000−cos⁡θsin⁡θ0−sin⁡θ−cos⁡θ)A =

\begin{pmatrix}

-1 & 0 & 0\\

0 & -\cos\theta & \sin\theta\\

0 & -\sin\theta & -\cos\theta\\

\end{pmatrix}

A=⎝⎛​−100​0−cosθ−sinθ​0sinθ−cosθ​⎠⎞​

可以证明点对称变换是 正交变换：ATA=1A^TA = 1ATA=1。

证明：

变换前后，两点间距离保持不变（刚性条件）。不妨取 (0,0,0)(0,0,0)(0,0,0) 为不动点。因此有 (x,y,z)(x,y,z)(x,y,z) 与原点间的距离保持不变：

x2+y2+z2=x′2+y′2+z′2x^2+y^2+z^2=x'^2+y'^2+z'^2

x2+y2+z2=x′2+y′2+z′2

写为矩阵形式：

xTx=x′Tx′x^T x = x'^T x'

xTx=x′Tx′

由此可得：

x′Tx′=(Ax)T(Ax)=xTATAx=xTx\begin{aligned}

x'^Tx' &= (Ax)^T(Ax)\\

&= x^T A^TA x = x^T x

\end{aligned}

x′Tx′​=(Ax)T(Ax)=xTATAx=xTx​

因此，刚性条件要求：

ATA=1,∣A∣=±1A^TA = 1,\quad |A| = \pm1

ATA=1,∣A∣=±1

其中旋转操作 ∣A∣=1|A|=1∣A∣=1，反演和旋转反演 ∣A∣=−1|A|=-1∣A∣=−1。

如果一个物体在某正交变换下保持不变，就称这个变换是物体的一个 对称操作。一个物体所允许的对称操作数愈多，表明其对称性愈高。

对称素

指的是一个物体借以进行对称操作的一根轴、一个点或一个平面。

如果一个物体绕某轴旋转 2πn\frac{2\pi}{n}n2π​ 及其倍数保持不变，则称这个轴为 nnn 次（重）轴，记为 nnn。

如果一个物体对某点反演不变，称为这点为 反演中心，记为 CiC_iCi​。

如果一个物体绕某轴旋转 2πn\frac{2\pi}{n}n2π​后，再反演，最终不变。称为 nnn 重（次）旋转反演轴（象转轴），记为 nˉ\bar{n}nˉ。

对于 2ˉ\bar{2}2ˉ，可以得到其等价于对一个 平面 的镜面操作 mmm。

例：立方体（OhO_hOh​ 群）

对称素

对称素个数

对称操作个数

444

3

9

333

4

8

222

1

6

EEE

1

1

CiC_iCi​

1

1

4ˉ\bar{4}4ˉ

3

9

3ˉ\bar{3}3ˉ

4

8

2ˉ\bar{2}2ˉ

1

6

共有 48 个对称操作。

这点利用排列组合容易得到：C81A33=48C_8^1A_3^3 = 48C81​A33​=48

晶体的宏观对称性

群

在数学上，定义一组元素的集合为群：

A={E,A1,A2,⋯ ,An}\mathcal{A} = \{E,A_1,A_2,\cdots,A_n\}

A={E,A1​,A2​,⋯,An​}

赋予这些元素一定的乘法规则，使其满足：

若 Ai,Aj∈AA_i,A_j \in \mathcal{A}Ai​,Aj​∈A，则 AiAj∈AA_iA_j \in \mathcal{A}Ai​Aj​∈A。（群对乘法的封闭性）

存在单位元素，使得：∀Ai∈A,AiE=EAi=Ai\forall A_i\in \mathcal{A},A_iE=EA_i =A_i∀Ai​∈A,Ai​E=EAi​=Ai​

存在逆元，∀Ai∈A, ∃Ai−1∈A, s.t. AiAi−1=Ai−1Ai=E\forall A_i\in \mathcal{A},\ \exists A_i^{-1} \in \mathcal{A},\ s.t.\ A_iA_i^{-1}=A_i^{-1}A_i = E∀Ai​∈A, ∃Ai−1​∈A, s.t. Ai​Ai−1​=Ai−1​Ai​=E

元素间的乘法满足结合律：Ai(AjAk)=(AiAj)AkA_i(A_jA_k)=(A_iA_j)A_kAi​(Aj​Ak​)=(Ai​Aj​)Ak​

一个物体的全部对称操作满足上述群的定义，称其构成一个 操作群。

例：立方体48个对称操作构成一个操作群，记为 OhO_hOh​

现在讨论 晶体可能具有的宏观对称素。

微观对称性破缺，宏观对称性也必然破缺。

考虑对结点 A,BA,BA,B 做如图旋转操作，得到 A′,B′A',B'A′,B′。容易得到：AB//A′B′AB//A'B'AB//A′B′。这两个晶列代表同一晶向，具有相同周期，有：

B′A′‾=nAB‾\overline{B'A'} = n \overline{AB}

B′A′=nAB

根据几何关系：

B′A′‾=(1+2cos⁡θ)AB‾\overline{B'A'} = (1+2\cos\theta)\overline{AB}

B′A′=(1+2cosθ)AB

可得：

θ\thetaθ

nnn

对称素

0°0\degree0°

−1-1−1

111

60°60\degree60°

000

666

90°90\degree90°

111

444

120°120\degree120°

222

333

180°180\degree180°

333

222

加上对应的反演 Ci,2ˉ,3ˉ,4ˉ,6ˉC_i,\bar{2},\bar{3},\bar{4},\bar{6}Ci​,2ˉ,3ˉ,4ˉ,6ˉ，总共有10种对称素。

现在讨论这10个对称素的独立性，不难发现：

1ˉ=Ci\bar{1} = C_i1ˉ=Ci​

2ˉ=m\bar{2} = m2ˉ=m

3ˉ=3+Ci\bar{3} = 3+C_i3ˉ=3+Ci​

4ˉ\bar{4}4ˉ 是独立的。

6ˉ=3+m\bar{6}=3+m6ˉ=3+m

由此，独立的对称素为 1,2,3,4,6,Ci,m,4ˉ1,2,3,4,6,C_i,m,\bar{4}1,2,3,4,6,Ci​,m,4ˉ，共有8个。

例如：正四面体

对称素

对称素个数

对称操作个数

4ˉ\bar{4}4ˉ

333

666

333

444

888

mmm

666

666

222

333

333

EEE

111

111

晶体周期性对于对称素组合的限制

可以证明：

两个二次轴之间的夹角只能是 30°,45°,60°,90°30\degree,45\degree,60\degree,90\degree30°,45°,60°,90°。

不可能多于两条六次轴，也不可能有一条六次轴和一条四次轴。

宏观对称性与宏观物性的关系

以电磁性质方程为例：

D=ϵED = \epsilon E

D=ϵE

在对称变换 AAA 下：

D′=AD,E′=AED' = AD,\quad E' =AE

D′=AD,E′=AE

可得

D′=AD=AϵE=(AϵAT)E′=ϵ′E′\begin{aligned}

D' &= AD\\

& = A\epsilon E\\

& = (A\epsilon A^T)E'\\

& =\epsilon' E'

\end{aligned}

D′​=AD=AϵE=(AϵAT)E′=ϵ′E′​

物体宏观性质应当在对称变换下保持不变，即：

D′=ϵE′D' = \epsilon E'

D′=ϵE′

对比可得：

ϵ=AϵAT\epsilon = A\epsilon A^T

ϵ=AϵAT

对于立方晶系，先选取 xxx 轴为四重轴，旋转 θ=π2\theta = \frac{\pi}{2}θ=2π​

A=(1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ)=(10000−1010)A = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & \cos\theta & -\sin\theta\\

0 & \sin\theta & \cos\theta\\

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & 0 & -1\\

0 & 1 & 0\\

\end{pmatrix}

A=⎝⎛​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎠⎞​=⎝⎛​100​001​0−10​⎠⎞​

AϵAT=(10000−1010)(ϵ11ϵ12ϵ13ϵ21ϵ22ϵ23ϵ31ϵ32ϵ33)(1000010−10)=(ϵ11−ϵ13ϵ12−ϵ31ϵ33−ϵ32ϵ21−ϵ23ϵ22)\begin{aligned}

A\epsilon A^{T} &= \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & 0 & -1\\

0 & 1 & 0\\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

\epsilon_{11} & \epsilon_{12} & \epsilon_{13}\\

\epsilon_{21} & \epsilon_{22} & \epsilon_{23}\\

\epsilon_{31} & \epsilon_{32} & \epsilon_{33}\\

\end{pmatrix}\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\

0 & 0 & 1\\

0 & -1 & 0\\

\end{pmatrix}\\

&=\begin{pmatrix}

\epsilon_{11} & -\epsilon_{13} & \epsilon_{12}\\

-\epsilon_{31} & \epsilon_{33} & -\epsilon_{32}\\

\epsilon_{21} & -\epsilon_{23} & \epsilon_{22}\\

\end{pmatrix}\\

\end{aligned}

AϵAT​=⎝⎛​100​001​0−10​⎠⎞​⎝⎛​ϵ11​ϵ21​ϵ31​​ϵ12​ϵ22​ϵ32​​ϵ13​ϵ23​ϵ33​​⎠⎞​⎝⎛​100​00−1​010​⎠⎞​=⎝⎛​ϵ11​−ϵ31​ϵ21​​−ϵ13​ϵ33​−ϵ23​​ϵ12​−ϵ32​ϵ22​​⎠⎞​​

可得：

{ϵ12=−ϵ13ϵ12=ϵ13\left\{\begin{aligned}

&\epsilon_{12} = -\epsilon_{13} \\

&\epsilon_{12} = \epsilon_{13} \\

\end{aligned}\right.

{​ϵ12​=−ϵ13​ϵ12​=ϵ13​​

应用其他对称操作，最终得到：

ϵαβ=δαβϵ0\epsilon_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta}\epsilon_{0}

ϵαβ​=δαβ​ϵ0​

即立方晶体介电常数为标量。

晶体对称性类型

对于宏观对称性，考虑到：

一种点阵的结构对应的点阵的宏观对称性显然高于本身的对称性

不同对称性的结构可以有相同的点阵

因此 点阵 的对称类型应该少于 结构 的对称类型。结构的点群为 晶体点群 ，共有 32 种；点阵的点群对应 7 个 晶系；另外同时考虑到宏观对称性与平移对称性，晶系可分为 14 种 Bravais 格子（空间点阵）；晶体点群拓展为 230 种 空间群。

晶体点群

用 10 个 对称素（8种）的基础上构成的对称性操作群叫做 点群。可以证明，只有 32 种晶体点群。

可以使用 熊夫利符号 表示晶体点群 [4]^{[4]}[4]：

CnC_nCn​ 循环群：有一跟根nnn 次旋转轴。

CnhC_{nh}Cnh​：CnC_nCn​ 加上一个与旋转轴垂直的镜面。

CnvC_{nv}Cnv​：CnC_nCn​ 加上一个与旋转轴平行的镜面。

S2nS_{2n}S2n​：nnn 为偶数：有一根 2n2n2n 次象转轴；nnn 为奇数：有一根 nnn 次象转轴。

DnD_nDn​（二面体群）：有一根 nnn 次轴和 nnn 根垂直于这根主轴的二重轴。

DnhD_{nh}Dnh​：DnD_nDn​ 加上一个与旋转轴垂直的镜面。

DndD_{nd}Dnd​：DnD_nDn​ 加上 nnn 个与旋转轴平行的镜面。

TTT （四面体群）：具有四面体对称性。

TdT_dTd​：包括旋转反映操作

ThT_hTh​：包括与旋转轴垂直的镜面。

OOO（八面体群）：具有八面体或立方体的对称性

OhO_hOh​：包括旋转反映操作。

赫尔曼–莫甘记号 是晶体点群的国际标记符号，它用点群的特征对称素对点群进行标记。其遵循以下规则：

不同位置的数字表示不同方向的轴。

若 nnn 次轴与 mmm 垂直，记为 nm\frac{n}{m}mn​，当不引起歧义时，可以简写为 mmm。

若多个轴方向相同，最后的符号要尽可能反映点群的对称性。

这几个对称素是独立的，能够通过相应的对称操作生成整个操作群。

32中点群对应的 熊夫利符号 与 赫尔曼–莫甘记号 列在下表：

序号

熊夫利符号

赫尔曼–莫甘记号（完整）

赫尔曼–莫甘记号（简写）

阶

1

C1C_1C1​

111

111

111

2

C2C_2C2​

222

222

222

3

C3C_3C3​

333

333

333

4

C4C_4C4​

444

444

444

5

C6C_6C6​

666

666

666

6

C1h=C1vC_{1h} = C_{1v}C1h​=C1v​

mmm

mmm

222

7

C2hC_{2h}C2h​

2m\frac{2}{m}m2​

2/m2/m2/m

444

8

C3hC_{3h}C3h​

6ˉ\bar{6}6ˉ

6ˉ\bar{6}6ˉ

666

9

C4hC_{4h}C4h​

4m\frac{4}{m}m4​

4/m4/m4/m

888

10

C6hC_{6h}C6h​

6m\frac{6}{m}m6​

6/m6/m6/m

121212

11

C2vC_{2v}C2v​

mm2mm2mm2

mm2mm2mm2

444

12

C3vC_{3v}C3v​

3m3m3m

3m3m3m

666

13

C4vC_{4v}C4v​

4mm4mm4mm

4mm4mm4mm

888

14

C6vC_{6v}C6v​

6mm6mm6mm

6mm6mm6mm

121212

15

S2=CiS_{2} = C_iS2​=Ci​

1ˉ\bar{1}1ˉ

1ˉ\bar{1}1ˉ

111

16

S4S_{4}S4​

4ˉ\bar{4}4ˉ

4ˉ\bar{4}4ˉ

444

17

S6S_{6}S6​

3ˉ\bar{3}3ˉ

3ˉ\bar{3}3ˉ

666

18

D2D_{2}D2​

222222222

222222222

444

19

D3D_{3}D3​

323232

323232

666

20

D4D_{4}D4​

422422422

422422422

888

21

D6D_{6}D6​

622622622

622622622

121212

22

D2hD_{2h}D2h​

2m2m2m\frac{2}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}m2​m2​m2​

mmmmmmmmm

888

23

D3hD_{3h}D3h​

6ˉm2\bar{6}m26ˉm2

6ˉm2\bar{6}m26ˉm2

121212

24

D4hD_{4h}D4h​

4m2m2m\frac{4}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}m4​m2​m2​

4/mmm4/mmm4/mmm

161616

25

D6hD_{6h}D6h​

6m2m2m\frac{6}{m}\frac{2}{m}\frac{2}{m}m6​m2​m2​

6/mmm6/mmm6/mmm

242424

26

D2dD_{2d}D2d​

4ˉ2m\bar{4}2m4ˉ2m

4ˉ2m\bar{4}2m4ˉ2m

888

27

D3dD_{3d}D3d​

3ˉ2m\bar{3}\frac{2}{m}3ˉm2​

3ˉm\bar{3}m3ˉm

121212

28

TTT

232323

232323

121212

29

ThT_hTh​

2m3ˉ\frac{2}{m}\bar{3}m2​3ˉ

m3ˉm\bar{3}m3ˉ

242424

30

TdT_dTd​

4ˉ3m\bar{4}3m4ˉ3m

4ˉ3m\bar{4}3m4ˉ3m

242424

31

OOO

432432432

432432432

242424

32

OhO_hOh​

4m3ˉ2m\frac{4}{m}\bar{3}\frac{2}{m}m4​3ˉm2​

m3ˉmm\bar{3}mm3ˉm

484848

各个对称素的生成关系可以用下图表示：

晶系 与 Bravais 格子

只考虑格点的宏观对称性可以将 32种晶体点群划分为 7 种晶系（根据特征对称素的不同）。

考虑点阵的平移对称性，可以将晶系分为：简单（P），体心（B），面心（F），底心（I）。

晶系、Bravais 格子的相关信息列在下表。

晶系

单胞基矢的特性

特征对称素

Bravais 格子

所属点群

三斜晶系

a1≠a2≠a3a_1\neq a_2\neq a_3a1​​=a2​​=a3​，夹角不等

无

简单三斜（P）

C1,CiC_1,C_iC1​,Ci​

单斜晶系

a1≠a2≠a3a_1\neq a_2\neq a_3a1​​=a2​​=a3​,a2⊥a1,a3a_2\perp a_1,a_3a2​⊥a1​,a3​

一个2次轴或对称面

简单单斜（P），底心单斜（I）

C2,Cs,C2hC_2,C_s,C_{2h}C2​,Cs​,C2h​

正交晶系

a1≠a2≠a3a_1\neq a_2\neq a_3a1​​=a2​​=a3​,a1,a2,a3a_1,a_2,a_3a1​,a2​,a3​相互正交

3个相互垂直的2次轴或2个互相垂直对称面

简单正交（P），底心正交（I），体心正交（B），面心正交（F）

D2,C2v,D2hD_2,C_{2v},D_{2h}D2​,C2v​,D2h​

三方晶系

a1=a2=a3a_1=a_2=a_3a1​=a2​=a3​,α=β=γ<120°,≠90°\alpha=\beta=\gamma<120\degree,\neq 90\degreeα=β=γ<120°,​=90°

在一个方向上有3次轴

简单三方（P）

C3,C3i,D,C3v,D3dC_3,C_{3i},D,C_{3v},D_{3d}C3​,C3i​,D,C3v​,D3d​

四方晶系

a1=a2≠a3,α=β=γ=90°a_1=a_2\neq a_3,\alpha=\beta=\gamma=90\degreea1​=a2​​=a3​,α=β=γ=90°

在一个方向上有4次轴

简单四方（P），体心四方（B）

C4,C4h,C4v,D4,D4h,D2d,S4C_4,C_{4h},C_{4v},D_{4},D_{4h},D_{2d},S_4C4​,C4h​,C4v​,D4​,D4h​,D2d​,S4​

六方晶系

a1=a2≠a3, a3⊥a1,a2, ∠a1a2=120°a_1=a_2\neq a_3,\ \ a_3\perp a_1,a_2,\ \ \angle a_1a_2 = 120\degreea1​=a2​​=a3​, a3​⊥a1​,a2​, ∠a1​a2​=120°

在一个方向上有6次轴

简单六角（P）

C6,C6h,C3v,D6,D6h,C3h,D2hC_6,C_{6h},C_{3v},D_{6},D_{6h},C_{3h},D_{2h}C6​,C6h​,C3v​,D6​,D6h​,C3h​,D2h​

立方晶系

a1=a2≠a3，α=β=γ=90°a_1=a_2\neq a_3，\alpha=\beta=\gamma=90^\degreea1​=a2​​=a3​，α=β=γ=90°

4个按照立方对角线排列的方向上有3次轴

简单立方（P），体心立方（B），面心立方（F）

T,Th,Td,O,OhT,T_h,T_d,O,O_hT,Th​,Td​,O,Oh​

空间群

同时考虑晶体结构的对称性：

点空间群

晶格的周期性，也称平移群，也可以用布拉伐格子来表征。若平移一个量：

tl1l2l3=l1α1+l2α2+l3α3\bm{t}_{l_1l_2l_3}=l_1\bm{\alpha_1}+l_2\bm{\alpha}_2+l_3\bm{\alpha}_3

tl1​l2​l3​​=l1​α1​+l2​α2​+l3​α3​

其对称操作可以写为一般的形式：(R∣t)(\bm{R}|\bm{t})(R∣t)。

若晶体自身重合，则称为 平行对称操作。所有布拉伐格子对应的平移对称操作的集合，为 平移群。平移群和点群构成 空间群。

具体的，一共有73种点空间群。

非点空间群

螺旋旋转：平移与镜面操作复合。

滑移反映：平移与旋转操作复合。

对应的对称素分别为 螺旋轴 与 滑移反映面。

可以得到共有 157 个非点操作群。

由此总共有 230 个空间点群。

总结以上结论，得到下表

点阵

结构

点群

7 晶系

32 晶体点群

空间群

14 Bravais格子

230 空间群

参考资料

胡安，章维益 《固体物理学》

By Materialscientist at English Wikipedia, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35003858

由APN MJM - 自己的作品，CC BY-SA 3.0，https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=18108166

维基百科编者. 晶体学点群[G/OL]. 维基百科, 202020200414. https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=晶体学点群&oldid=59167692.

黄昆，《固体物理学》

Messenger在国内怎么使用?(最新官方版本)
看似不起眼的“小草”，6个拍摄技巧，你也能拍出唯美大片